Analisi funzionale è un settore della matematica che è lo studio dei vettori, spazi vettoriali e le loro operazioni . Essenzialmente , secondo Mathematical Atlas , è l'esame di spazi vettoriali di dimensione infinita entro qualche struttura ( ad esempio struttura metrica o ring) . Equazioni differenziali e altri concetti di calcolo vettoriale sono ampiamente utilizzati nello studio di analisi funzionale . L' fatti

Un vero spazio vettoriale è un insieme di elementi che ha due operazioni , addizione e moltiplicazione scalare . Uno spazio metrico è un insieme con una metrica e lo studio degli spazi metrici si chiama topologia . L'analisi funzionale è un livello avanzato di analisi matematica e ha sovrapposizioni con molti altri tipi di matematica , tra cui le equazioni differenziali, fisica matematica , analisi numerica , elaborazione del segnale , complessi e analisi reale , geometria, algebra , topologia operatore e probabilità .

Storia

l'analisi funzionale termine prima apparizione nel 1922 , nel titolo di Paul Lévy di Leçons de l' analizzare fonctionelle . Da allora il concetto di analisi funzionale è stato usato per descrivere spazi di funzioni ( in particolare Banach e spazi di Hilbert ) . Questa idea deriva in gran parte dal lavoro di un matematico tedesco prolifico con il nome di David Hilbert che ha fatto molti importanti contributi nel campo nella prima metà del ventesimo secolo , secondo primi usi noti .

Caratteristiche

In particolare , l'analisi funzionale è spesso considerato come lo studio degli spazi vettoriali normati completi . Questi spazi vettoriali estendono su entrambi i numeri reali e complessi e sono formalmente chiamati spazi di Banach . Uno spazio di Hilbert ( così chiamato in onore di David Hilbert ) è un esempio di uno spazio di Banach ed è uno spazio il cui prodotto interno crea una norma. L'analisi funzionale è normalmente introdotto attraverso lo studio di spazi lineari e normato e seguito dai concetti di spazi di Hilbert e funzionali lineari . Questo è seguito da l'idea di spazi di Banach duali , la teoria di Hahn-Banach , operatori lineari delimitate ( come pure gli operatori compatti, doppi operatori e operatori invertibili ) , e infine i molti aspetti della teoria spettrale .
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Funzione

il concetto di Banach e spazi di Hilbert sono di grande importanza per la matematica pura , perché sono fondamentali per la comprensione della meccanica quantistica e di altre aree della fisica . Inoltre , secondo l'analisi funzionale : An Introduction , il ruolo più importante di analisi funzionale è quello di sviluppare ulteriormente linguaggio matematico per la comprensione del mondo che ci circonda . Matematica XX secolo, è quasi interamente basata su analisi funzionale , perché è lo studio delle "operazioni" e il loro " spettro ".
Applicazioni

L'analisi funzionale ha molte applicazioni . Secondo Atlas matematica , questi includono i modelli di collettori su spazi topologici lineari , topologia generale (come spazi vettoriali topologici ) e spazi metrici (come spazi vettoriali normati , funzioni a distanza, e di prodotti interni ) .
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